卷二十八

p;  日食限：一千四百六十四。

    月食限：一千三百三十八。

    盈初限缩末限：六十度八十七分半。

    缩初限盈末限：一百二十一度七十五分。

    求交初度：置所求积月，以朔差乘之，满周天分去之，不尽，覆减周天分，满交度母除之为度，不满为余，即得所求月交初度及余；以半周天加之，满周天去之，余为交中度及余。（若以望差减之，即得其月望交初度及余；以朔差减之，即得次月交初度及余；以交度母退除，即得余分。若以天正黄道日度加而命之，即各得交初、中所在宿度及分。）

    求日月食甚小余及加时辰刻：以其朔、望月行迟疾定差疾加迟减经朔望小余，（若不足减者，退大余一，加元法以减之；若加之满元法者，但积其数。）以一千三百三十七乘之，满其度所直月行定分除之，为月行差数；乃以日躔盈定差盈加缩减之，余为其朔、望食甚小余。（凡加减满若不足，进退其日，此朔望加时以究月行迟疾之数，若非有交会，直以经定小余为定。）置之，如前发敛加时术入之，即各得日、月食甚所在晨刻。（视食甚小余，如半法以下者，覆减半法，余为午前分；半法已上者，减去半法，余为午后分。）

    求朔望加时日月度：以其朔、望加时小余与经朔望小余相减，余以元法退收之，以加减其朔、望中日及约分，（经朔望少，加；经朔望多，减。）为其朔、望加时中日。乃以所入日升降分乘所入日约分，以一万约之，所得，随以损益其日下盈缩积，为盈缩定度；以盈加缩减加时中日，为其朔、望加时定日；望则更加半周天，为加时定月；以天正冬至加时黄道日度加而命之，即得所求朔、望加时日月所在宿度及分。

    求朔望日月加时去交度分：置朔望日月加时定度与交初、交中度相减，余为去交度分。（就近者相减之，其度以百通之为分。）加时度多为后，少为前，即得其朔望去交前、后分。（交初后、交中前，为月行外道阳历；交中后、交初前，为月行内道阴历。）

    求日食四正食差定数：置其朔加时定日，如半周天以下者为在盈。以上者去之，余为在缩。视之，如在初限以下者为在初。以上者，覆减二至限，余为在末。置初、末限度及分，（盈初限、缩末限者倍之。）置于上位，列二百四十三度半于下，以上减下，余以下乘上，以一百六乘之，满三千九十三除之，为东西食差泛数。用减五百八，余为南北食差泛数。其求南北食差定数者，乃视午前、后分，如四分法之一以下者覆减之，余以乘泛数。若以上者即去之，余以乘泛数，皆满九千七百五十除之，为南北食差定数。盈初缩末限者，（食甚在卯酉以南，内减外加；食甚在卯酉以北，内加外减。）缩初盈末限者，（食甚在卯酉以南，内加外减；食甚在卯酉以北，内减外加。）其求东西食差定数者，乃视午前、后分，如四分法之一以下者以乘泛数；以上者，覆减半法，余乘泛数，皆满九千七百五十除之，为东西食差定数。盈初缩末限者，（食甚在子午以东，内减外加；食甚在子午以西，内加外减。）缩初盈末限者，（食甚在子午以东，内加外减；食甚在子午以西，内减外加。）即得其朔四正食差加减定数。

    求日月食去交定分：视其朔四正食差，加减定数，同名相从，异名相消，余为食差加减总数；以加减去交分，余为日食去交定分。（其去交定分不足减、乃覆减食差总数、若阳历覆减入阴历，为入食限；若阴历覆减入阳历，为不入食限。凡加之满食限以上者，亦不入食限。）其望食者，以其望去交分便为其望月食去交定分。

    求日月食分：日食者，视去交定分，如食限三之一以下者倍之，类同阳历食分。以上者，覆减食限，余为阴历食分。皆进一位，满九百七十六除为大分，不满，退除为小分，命十为限，即日食之大、小分。月食者，视去交定分，如食限三之一以下者，食既；以上者，覆减食限。余进一位，满八百九十二除之为大分，不满，退除为小分，命十为限，即月食之大、小分。（其食不满大分者，虽交而数浅，或不见食也。）

    求日食泛用刻分：置阴、阳历食分于上，列一千九百五十二于下，以上减下，余以乘上，满二百七十一除之，为日食泛用刻、分。

    求月食泛用刻分：置去交定分，自相乘，交初以四百五十九除，交中以五百四十除之，所得，交初以减三千九百，交中以减三千三百一十五，余为月食泛用刻、分。

    求日月食定用刻分：置日月食泛用刻、分，以一千三百三十七乘之，以所直度下月行定分除之，所得为日月食定用刻、分。

    求日月食亏初复满时刻：以定用刻分减食甚小余，为亏初小余；加食甚，为复满小余；各满辰法为辰数，不尽，满刻法除之为刻数，不满为分。命辰数从子正，算外，即得亏初、复末辰、刻及分。（若以半辰数加之，即命从时初也。）

    求日月食初亏复满方位：其日食在阳历者，初食西南，甚于正南，复于东南；日在阴历者，初食西北，甚于正北，复于东北。其食过八分者，皆初食正西，复于正东。其月食者，月在阴历，初食东南，甚于正南，复于西南；月在阳历，初食东北，甚于正北，复于西北。其食八分已上者，皆初食正东，复于正西。（此皆审其食甚所向，据午正而论之，其食余方察其斜正，则初亏、复满乃可知矣。）

    求月食更点定法：倍其望晨分，五而一，为更法；又五而一，为点法。（若依司辰星注历，同内中更点，则倍晨分，减去待旦十刻之分，余，五而一，为更法；又五而一，为点法。）

    求月食入更点：各置初亏、食甚、复满小余，如在晨分以下者加晨分，如在昏分以上者减去昏分，余以更法除之为更数，不满，以点法除之为点数。其更数命初更，算外，即各得所入更、点。

    求月食既内外刻分：置月食去交分，覆减食限三之一，（不及减者为食不既。）余列于上位；乃列三之二于下，以上减下，余以下乘上，以一百七十除之，所得，以定用刻分乘之，满泛用刻分除之，为月食既内刻分；用减定用刻分，余为既外刻、分。

    求日月带食出入所见分数：视食甚小余在日出分以下者，为月见食甚、日不见食甚；以日出分减复满小余，若食甚小余在日出分已上者，为日见食甚、月不见食甚；以初亏小余减日出分，各为带食差；（若月食既者，以既内刻分减带食差，余乘所食分，既外刻分而一，不及减者，即带食既出入也。）以乘所食之分，满定用刻分而一，即各为日带食出、月带食入所见之分。（凡亏初小余多如日出分为在昼，复满小余多如日出分为在夜，不带食出入也。）若食甚小余在日入分以下者，为日见食甚、月不见食甚；以日入分减复满小余，若食甚小余在日入分已上者，为月见食甚、日不见食甚；以初亏小余减日入分，各为带食差；（若月食既者，以既内刻分减带食差，余乘所差分，既外刻分而一，不及减者，即带食既出入也。）以乘所食之分，满定用刻分而一，即各为日带食入、月带食出所见之分。（凡亏初小余多如日入分为在夜，复满小余少如日入分为在昼，并不带食出入也。）

    步五星术

    木星终率：一千五百五十五万六千五百四。

    终日：三百九十八日。（余三万四千五百四，约分八千八百四十七。）

    历差：六万一千七百五十。

    见伏常度：一十四度。

    火星终率：三千四十一万七千五百三十六。

    终日：七百七十九日。（余三万六千五百三十六，约分九千三百六十八。）

    历差：六万一千二百四十。

    见伏常度：一十八度。

    土星终率：一千四百七十四万五千四百四十六。

    终日：三百七十八。（余三千四百四十六，约分八百八十三。）

    历差：六万一千三百五十。

    见伏常度：一十八度半。

    金星终率：二千二百七十七万二千一百九十六。

    终日：五百八十三日。（余三万五千一百九十六，约分九千二十四。）

    见伏常度：一十一度少。

    水星终率：四百五十一万九千一百八十四。（改九千一百九十四。）

    终日：一百一十五日。（余三万四千一百八十四，约分八千七百六十五。）

    见伏常度：一十八度。

    求五星天正冬至后诸段中积中星：置气积分，各以其星终率去之，不尽，覆减终率，余满元法为日，不满，退除为分，即天正冬至后其星平合中积。重列之为中星，因命为前一段之初，以诸段变日、变度累加减之，即为诸段中星。（变日加减中积，变度加减中星。）

    求木火土三星入历：以其星历差乘积年，满周天分去之，不尽，以度母除之为度，不满，退除为分，命曰差度；以减其星平合中星，即为平合入历度分；以其星其段历度加之，满周天度分即去之，各得其星其段入历度分。（金、水附日而行，更不求历差。其木、火、土三星前变为晨，后变为夕。金、水二星前变为夕，后变为晨。）

    求木火土三星诸段盈缩定差：木、土二星，置其星其段入历度分，如半周天以下者为在盈。以上者，减去半周天，余为在缩。置盈缩度分，如在一象以下者为在初限。以上者，覆减半周天，余为在末限。置初、末限度及分于上，列半周天于下，以上减下，以下乘上，（木进一位，土九因之。）皆满百为分，分满百为度，命曰盈缩定差。其火星，置盈缩度分，如在初限以下者为在初。以上者，覆减半周天，余为在末。（以四十五度六十五分半为盈初、缩末限度，以一百三十六度九十六分半为缩初、盈末限度分。）置初、末限度于上，（盈初、缩末三因之。）列二百七十三度九十三分于下，以上减下，余以下乘上，以一十二乘之，满百为度，不满，百约为分，命曰盈缩定差。（若用立成法，以其度下损益率乘度下约分，满百者，以损益其度下盈缩差度为盈缩定差，若在留退段者，即在盈缩泛差。）

    求木火土三星留退差：置后退、后留盈缩泛差，各列其星盈缩极度于下，（木极度，八度三十三分；火极度，二十二度五十一分；土极度，七度五十分。）以上减下，余以下乘上，（水、土三因之，火倍之。）皆满百为度，命曰留退差。（后退初半之，后留全用。）其留退差，在盈益减损加、在缩损减益加其段盈缩泛差，为后退、后留定差。（因为后迟初段定差，各须类会前留定差，观其盈缩，察其降差也。）

    求五星诸段定积：各置其星其段中积，以其段盈缩定差盈加缩减之，即其星其段定积及分；以天正冬至大余及约分加之，满纪法去之，不尽，命甲子，算外，即得日辰。（其五星合见、伏，即为推算段定日；后求见、伏合定日，即历注其日。）

    求五星诸段所在月日：各置诸段定积，以天正闰日及约分加之，满朔策及分去之，为月数；不满，为入月以来日数及分。其月数命从天正十一月，算外，即其星其段入其月经朔日数及分。（定朔有进退者，亦进退其日，以日辰为定。若以气策及约分去定积，命从冬至，算外，即得其段入气日及分。）

    求五星诸段加时定星：各置其星其段中星，以其段盈缩定差盈加缩减之，即五星诸段定星。若以天正冬至加时黄道日度加而命之，即其段加时定星所在宿次。（五星皆以前留为前退初定星，后留为后顺初定星。）

    求五星诸段初日晨前夜半定星：木、火、土三星，以其星其段盈缩定差与次度下盈缩定差相减，余为其度损益差；以乘其段初行率，一百约之，所得，以加减其段初行率，（在盈，益加损减；在缩，益减损加。）以一百乘之，为初行积分；又置一百分，亦依其数加减之，以除初行积分，为初日定行分。以乘其段初日约分，以一百约之，顺减退加其段定星，为其段初日晨前夜半定星；以天正冬至加时黄道日度加而命之，即得所求。（金、水二星，直以初行率便为初日定行分。）

    求太阳盈缩度：各置其段定积，如二至限以下为在盈；以上者去之，余为在缩。又视入盈缩度，如一象以下者为在初；以上者，覆减二至限，余为在末。置初、末限度及分，如前日度术求之，即得所求。（若用立成者，直以其度下损益分乘度余，百约之，所得，损益其度下盈缩差，亦得所求。）

    求诸段日度率：以二段日晨相距为日率，又以二段夜半定星相减，余为其段度率及分。

    求诸段平行分：各置其段度率及分，以其段日率除之，为其段平行分。

    求诸段泛差：各以其段平行分与后段平行分相减，余为泛差；并前段泛差，四因之，退一等，为其段总差。（五星前留前、后留后一段，皆以六因平行分，退一等，为其段总差，水星为半总差。其在退行者，木、火、土以十二乘其段平行分，退一等，为其段总差。金星退行者，以其段泛差为总差，后变则反用初、末。水星退行者，以其段平行分为总差，若在前后顺第一段者，乃半次段总差，为其段总差。）

    求诸段初末日行分：各半其段总差，加减其段平行分，为其段初、末日行分。（前变加为初，减为末；后变减为初，加为末。其在退段者，前则减为初，加为末；后则加为初，减为末。若前后段行分多少不伦者，乃平注之；或总差不备大分者，亦平注之：皆类会前后初、末，不可失其衰杀。）

    求诸段日差：减其段日率一，以除其段总差，为其段日差。（后行分少为损，后行分多为益。）

    求每日晨前夜半星行宿次：置其段初日行分，以日差累损益之，为每日行分。以每日行分累加减其段初日晨前夜半宿次，命之，即每日星行宿次。

    径求其日宿次：置所求日，减一，以乘日差，以加减初日行分，（后少，减之；后多，加之。）为所求日行分；乃加初日行分而半之，以所求日数乘之，为径求积度；以加减其段初日宿次，命之，即径求其日星宿次。

    求五星定合定日：木、火、土三星，以其段初日行分减一百分，余以除其日太阳盈缩余为日，不满，退除为分，命曰距合差日及分。以差日及分减太阳盈缩分，余为距合差度。以差日、差度盈减缩加。金、水二星平合者，以百分减初日行分，余以除其日太阳盈缩余为日，不满，退除为分，命曰距合差日及分。以减太阳盈缩分，余为距合差度。以差日、差度盈加缩减。金、水星再合者，以初日行分加一百分，以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，命曰再合差日；以减太阳盈缩分，余为再合差度。以差日、差度盈加缩减。（差度则反其加减。）皆以加减定积，为再合定日。以天正冬至大余及约分加而命之，即得定合日辰。

    求五星定见伏：木、火、土三星，各以其段初日行分减一百分，余以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，以盈减缩加。金、水二星夕见、晨伏者，以一百分减初日行分，余以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，以盈加缩减。其在晨见、夕伏者，以一百分加其段初日行分，以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，以盈减缩加。皆加减其段定积，为见、伏定日。以加冬至大余及约分，满纪法去之，命从甲子，算外，即得五星见、伏定日日辰。

    琮又论历曰："古今之历，必有术过于前人，而可以为万世之法者，乃为胜也。若一行为大衍历，议及略例，校正历世，以求历法强弱，为历家体要，得中平之数。刘焯悟日行有盈缩之差。（旧历推日行平行一度，至此方悟日行有盈缩，冬至前后定日八十八日八十九分，夏至前后定日九十三日七十四分，冬至前后日行一度有余，夏至前后日行不及一度。）李淳风悟定朔之法，并气朔、闰余，皆同一术。（旧历定朔平注一大一小，至此以日行盈缩、月行迟疾加减朔余，余为定朔、望加时，以定大小，不过三数。自此后日食在朔，月食在望，更无晦、二之差。旧历皆须用章岁、章月之数，使闰余有差，淳风造麟德历，以气朔、闰余同归一母。）张子信悟月行有交道表里，五星有入气加减。（北齐学士张子信因葛荣乱，隐居海岛三十余年，专以圆仪揆测天道，始悟月行有交道表里，在表为外道阳历，在里为内道阴历。月行在内道，则日有食之，月行在外道则无食。若月外之人北户向日之地，则反观有食。又旧历五星率无盈缩，至是始悟五星皆有盈缩、加减之数。）宋何承天始悟测景以定气序。（景极长，冬至；景极短，夏至。始立八尺之表，连测十余年，即知旧景初历冬至常迟天三日。乃造元嘉历，冬至加时比旧退减三日。）晋姜岌始悟以月食所冲之宿，为日所在之度。（日所在不知宿度，至此以月食之宿所冲，为日所在宿度。）后汉刘洪作乾象历，始悟月行有迟疾数。（旧历，月平行十三度十九分度之七，至是始悟月行有迟疾之差，极迟则日行十二度强，极疾则日行十四度太，其迟疾极差五度有余。）宋祖冲之始悟岁差。（书-尧典曰："日短星昴，以正仲冬；宵中星虚，以殷仲秋。"至今三千余年，中星所差三十余度，则知每岁有渐差之数，造大明历率四十五年九月而退差一度。）唐徐升作宣明历，悟日食有气、刻差数。（旧历推日食皆平求食分，多不允合，至是推日食，以气刻差数增损之，测日食分数，稍近天验。）明天历悟日月会合为朔，所立日法，积年有自然之数，及立法推求晷景，知气节加时所在。（自元嘉历后所立日法，以四十九分之二十六为强率、以十七分之九为弱率，并强弱之数为日法、朔余，自后诸历效之。殊不知日月会合为朔，并朔余虚分为日法，盖自然之理。其气节加时，晋、汉以来约而要取，有差半日，今立法推求，得尽其数。）后之造历者，莫不遵用焉。其疏谬之甚者，即苗守信之乾元历、马重绩之调元历、郭绍之五纪历也。大概无出于此矣。然造历者，皆须会日月之行，以为晦朔之数，验春秋日食，以明强弱。其于气序，则取验于传之南至。其日行盈缩、月行迟疾、五星加减、二曜食差、日宿月离、中星晷景、立数立法，悉本之于前语。然后较验，上自夏仲康五年九月"辰弗集于房"，以至于今，其星辰气朔、日月交食等，使三千年间若应准绳。而有前有后、有亲有疏者，即为中平之数，乃可施于后世。其较验则依一行、孙思恭，取数多而不以少，得为亲密。较日月交食，若一分二刻以下为亲，二分四刻以下为近，三分五刻以上为远。以历注有食而天验无食，或天验有食而历注无食者为失。其较星度，则以差天二度以下为亲，三度以下为近，四度以上为远；其较晷景尺寸，以二分以下为亲，三分以下为近，四分以上为远。若较古而得数多，又近于今，兼立法、立数，得其理而通于本者为最也。"琮自谓善历，尝曰："世之知历者甚少，近世独孙思恭为妙。"而思恭又尝推刘羲叟为知历焉。